Carlo Rovelli Achille corre coi “loop”

Il Sole 24Ore Domenica 17 giugno 2012

Ilya Zomb  Gradation of Duality

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Achille corre coi «loop»

Carlo Rovelli

Un bravo filosofo che si occupa di scienza porta luce nuova, e offre spessore concettuale e storico sulle grandi questioni scientifiche. Questa è stata la mia prima considerazione alla fine della lettura del colto libretto sui Paradossi di Zenone che Vincenzo Fano, che insegna a Urbino, filosofo italiano capace di guardare alla scienza, ha pubblicato per l’editore Carrocci. Zenone era anch’egli un filosofo italiano che s’interessava di scienza: insegnava a Elea, in quello che oggi è il Cilento, in provincia di Salerno, 2400 anni fa. Il saggio di Fano lo fa rinascere in una luce attualissima, che ho trovato sorprendentemente vicina alla questioni di fisica teorica al cuore del mio lavoro di ricerca.

Zenone è passato alla storia per alcune argomentazioni, note appunto come i «paradossi di Zenone», giudicate da Bertand Russell «smisuratamente sottili e profonde». È l’inizio della grande speculazione greca. Durante i decenni precedenti, i filosofi della scuola naturalistica di Mileto, nell’odierna Turchia, si erano resi conto che le cose non sono necessariamente come ci appaiono, ma la natura può essere comprensibile alla ragione. In Italia, i filosofi della scuola di Elea al seguito del grande padre Parmenide avevano radicalizzato questa intuizione all’estremo, sostenendo che la vera realtà è solo quella che la ragione può ricostruire, e negando ogni realtà alle apparenze. Zenone presenta i suoi “paradossi” come argomenti per mostrare che il movimento è inconcepibile: quindi il movimento può solo essere falsa apparenza e non vera realtà. Tesi ardita.

II paradosso più famoso è quello di Achille e della Tartaruga. Achille e la Tartaruga si sfidano a una corsa, ma Achille sa di correre dieci volte più veloce e concede alla Tartaruga un vantaggio di cento metri. Dopo quanto tempo Achille raggiungerà la Tartaruga? Prima di raggiungere la Tartaruga, Achille dovrà coprire i cento metri che ha le dato di vantaggio, e per questo impiegherà un certo tempo. Nel frattempo, la Tartaruga avrà percorso una certa distanza, diciamo dieci metri. A questo punto, Achille è arrivato al punto di partenza della Tartaruga ma la Tartaruga è dieci metri più avanti. Prima di raggiungere la Tartaruga, Achille dovrà quindi coprire anche questi dieci metri, impiegando un altro tempo. Ma nel frattempo la Tartaruga avrà percorso un altro po’ di spazio, e così via all’infinito. Quindi prima di raggiungere la Tartaruga, Achille dovrà coprire un numero infinito di porzioni di spazio, e per ciascuna ci vuole tempo. Quindi Achille impiegherà un numero infinito di tempi, cioè un tempo infinito. In altre parole, non raggiungerà mai la Tartaruga. Siccome noi vediamo Achille superare la Tartaruga, mentre abbiamo dimostrato che questo non è possibile, ne segue che quello che vediamo è illusione. Così Zenone.

Il ragionamento è sbagliato. L’errore è pensare che una somma di infiniti intervalli di tempo debba dare un tempo infinito. Questo non è vero. Per convincersene, basta pensare di prendere un filo lungo un metro e tagliarne un pezzo da 50 centimetri. Poi tagliarne un pezzo da 25 centimetri, poi un pezzo da 12,5 centimetri e via così, sempre aggiungendo ai pezzi tagliati uno lungo metà del precedente. Se continuiamo all’infinito, la lunghezza dei pezzetti tagliati sommerà a un filo lungo infinito? Ovviamente no, perché presi tutti insieme i pezzetti non sarebbero mai più lunghi del metro di partenza. Quindi la somma di infinite lunghezze può benissimo fare una lunghezza finita, quando le lunghezze sommate sono opportunamente via via più corte. Nello stesso modo, la somma di infiniti tempi può benissimo fare un tempo finito. Il ragionamento di Zenone è sbagliato nel punto in cui deduce che una somma di infiniti tempi impiegati da Achille debba costituire un tempo infinito.

Questa considerazione sembra chiudere la faccenda. È una soluzione che 24 secoli fa sfuggiva forse alle menti migliori, perché la familiarità con le somme infinite si è sviluppata solo più tardi. Ha cominciato a comprenderle Archimede in Italia un paio di secoli dopo Zenone, ma solo in epoca moderna si è fatta: i matematici le chiamano oggi “serie convergenti”. La chiarezza completa è venuta pian piano, ma non c’è dubbio che l’argomento di Achille e la Tartaruga sia sbagliato. In effetti, prima di leggere il libro di Fano avevo sempre considerato poco interessanti i paradossi di Zenone.

Ma allora perché Bertand Russell, che non è ingenuo, chiama i paradossi di Zenone «smisuratamente sottili e profondi»? E perché Vincenzo Fano, filosofo attento, dedica loro un saggio? Il punto sottile è questo: siamo davvero sicuri che la soluzione che ho appena dato sia la giusta risposta “fisica” alla questione posta da Zenone? È davvero questo quello che succede quando Achille rincorre la Tartaruga? Percorre un numero infinito di tratti, di lunghezza via via più piccola?

Poniamo la questione in un’altra maniera, ancora seguendo le tracce di Zenone: a scuola abbiamo imparato che lo spazio è un insieme di punti. Ma un punto non ha estensione. Neanche due punti hanno estensione. E neanche tre. Per quanti punti aggiungo, ho sempre qualcosa senza estensione. Allora come posso ottenere uno spazio esteso, accatastando punti? Il saggio di Fano, didattico, ma intelligente, erudito ed esauriente, srotola davanti a noi le molte difficoltà suscitate dal concetto di spazio continuo, le acrobazie teoriche per aggirarle, le riflessioni e le obiezioni che queste difficoltà hanno generato nei secoli, e ci porta alla soglia della versione odierna del problema.

Per comprendere la profondità del problema, seguiamo un’altro filo: Zenone aveva un amico, di nome Leucippo. Leucippo è il primo filosofo a suggerire un’idea che avrà uno scintillante futuro: l’ipotesi atomica. Motivato dalle difficoltà dell’idea di divisibilità all’infinito su cui insisteva il suo amico Zenone, Leucippo propone l’idea che la materia sia fatta da unità indivisibili. A sviluppare quest’idea in modo grandioso sarà il suo discepolo, Democrito, uno dei più grandi filosofi di tutti i tempi. Chi studia Democrito ama ripetere che la perdita dei suoi testi, probabilmente censurati durante i “secoli devoti”, è una delle grandi tragedie per la cultura universale. Forse il mondo avrebbe potuto essere migliore se invece di gettare Democrito e conservare Aristotele, i nostri padri avessero perduto il Corpus di Aristotele e conservato quello di Democrito, che gli antichi amavano chiamare «il filosofo che ride». Bene, Leucippo e Democrito esplorano l’idea che la materia possa non essere divisibile all’infinito: non è possibile dividere una goccia d’acqua in un numero arbitrariamente grande di gocce sempre più piccole. Esiste un’unità minima di acqua: la molecola di acqua. Secondo Democrito, l’universo, nella sua varietà e complessità, può essere compreso pensando a unità indivisibili di materia, che Democrito battezza “atomi”, e al loro danzare nello spazio. L’immensa visione democritea, che conosciamo soprattutto attraverso la versione in poesia che ne ha lasciato Lucrezio, ha fortemente ispirato la nascita della scienza moderna, è stata splendidamente confermata in tempi recenti, ed è quella che ogni scolaretto delle elementari impara oggi a scuola: la materia è composta di atomi: non la si può dividere all’infinito. E lo spazio? II problema originario posto da Zenone, quello della infinita divisibilità dello spazio, è invece ancora aperto.

Anzi, è al centro della ricerca teorica in fisica fondamentale. La fisica di Newton assumeva che lo spazio fosse reale e infinitamente divisibile. Nel corso dell’Ottocento i matematici hanno sviluppato teorie molto raffinate per rendere conto delle stranezze del continuo. Queste teorie forniscono una possibile soluzione ai paradossi di Zenone, ma una soluzione astrusa. Nell’argomentare dell’antico e profondo pensatore di Elea resta qualcosa d’inquietante, ben messa in luce da Fano. Resta la questione fisica posta da lui: lo spazio e il tempo sono davvero infinitamente divisibili? E se non lo fossero?

È davvero ragionevole pensare che lo spazio fisico conservi per sempre la sua struttura continua, giù giù all’infinito? L’infinito, anche tuffandosi giù giù nell’abisso del piccolissimo, è molto molto lontano…

Oggi ci sono forti indizi che la soluzione corretta dei paradossi di Zenone potrebbe non essere il continuo. L’intuizione di Leucippo e Democrito potrebbe alla fine rivelarsi corretta non solo per la materia, ma anche per lo spazio stesso. La fisica del Novecento ha mostrato la rilevanza di tre costanti fisiche per la struttura dell’universo: la velocità della luce, la costante della gravitazione universale e la costante di Planck, che stabilisce la scala dei fenomeni detti “quantistici”. Combinando queste costanti si ottiene una lunghezza, chiamata la scala di Planck. Si tratta di una scala molto piccola (un decimilionesimo di un miliardesimo di un miliardesimo del nucleo di un atomo), ma finita. A questa scala, ci aspettiamo fenomeni “quantistici” anche per lo spazio, e il fenomeno “quantistico” più tipico è proprio la granularità. Per esempio le onde elettromagnetiche si comportano come uno sciame di particelle: i celebri fotoni, i «quanti di luce». Allo stesso modo, è ragionevole aspettarci che anche lo spazio mostri aspetti granulari alla scala di Planck. Lo spazio potrebbe essere fatto di “atomi di spazio” elementari, non più divisibili.

Questa granularità dello spazio appare in diverse teorie oggi allo studio. La teoria in cui è studiata più esplicitamente è la teoria della gravità quantistica a “loop”, nell’ambito della quale si svolge la mia ricerca. Nella teoria dei loop, un centimetro di spazio non è un continuo: è un insieme di un numero grande ma finito di «atomi di spazio». Il saggio su Zenone di Fano si inserisce dunque non solo nel dibattito storico-filosofico, ma offre argomenti e spunti di riflessione anche alla fisica teorica. Le complessità concettuali sollevate dalla nozione di spazio continuo, ben descritte da Fano, potrebbero non essere il modo migliore per pensare al mondo reale. Se la teoria dei “loop” è corretta, Achille non dovrà fare un numero infinito di salti per raggiungere la Tartaruga. I balzi dell’eroe necessari per acchiappare la fuggevole Tartaruga potrebbero essere molti, ma in numero finito.

Vincenzo Fano, I paradossi di Zenone, Carrocci, Roma, pagg. 144, € 11,00

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La Repubblica 3 agosto 2010

Marco Cattaneo “Il fisico che ammazza il tempo

Si chiama Carlo Rovelli, lavora in Francia e ha conquistato premi negli Stati Uniti con una teoria rivoluzionaria. Nata per superare le stringhe.

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